집합의 포함 관계 : 포함과 배제, 공집합, (진)부분집합과 (진)확대집합, 집합관련 수학기호

 아래에서 설명할 부분은 머신러닝 시 멤버십 테스트 등을 할 때 사용될 것이기 때문에 가볍게 읽고 이해만 하시면 될 것 같습니다. 쉽게 설명 부분만 보셔도 됩니다.
 

1. 집합의 포함(Inclusion)과 배제(Exclusion) : 삼지창 모양

 (1) 쉽게 설명
  - A안에 1이 포함되어 있습니다. 포함은 ∈ 기호를 사용합니다.
  - A안에 4는 포함되어 있지 않습니다. 포함되지 않을 때는 ∉ 기호를 사용합니다.

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집합의 포함(Inclusion)과 배제 (Exclusion)

 (2) 학술적으로 설명
 원소 a가 집합 A에 포함됨 (a ∈ A), ∈기호는 왼쪽이 오른쪽의 원소이다라는 의미입니다.
  - 예제 A = {1, 2, 3}일 때, 원소 1은 A에 포함되어 있다. 즉 1 ∈ A
 원소 b가 집합 A에 포함되지 않을 때 = (b ∉ A)
  - 예제 A = {1, 2, 3}일때, 원소 5는 A에 포함되어 있다. 즉 5 ∉ A
 

2. 공집합(Empty Sets) : 두 집합이 같은 원소를 갖고 있다면 두 집합은 같다.

 (1) 쉽게 설명 : A집합과 B집합의 원소가 동일한 경우입니다.

공집합(Equal Sets)

 (2) 학술적으로 설명
 A = B ⇔ {(∀a ∈ A) ∈ B} ∧ {(∀b ∈ B) ∈ A}를 아래와 같이 해석합니다.
 - A와 B는 같다
 - ∀(모든) 원소 a는 집합 A에 ∈(포함) 되고(∧), ∀(모든)  원소 b는 집합 B에 ∈(포함)된다.
 

3. 부분집합(Subset)과 확대 집합(Superset)

 (1) 쉽게 설명
  - 집합 A가 집합 B에 포함되어 있으면 A는 B의 부분집합입니다.
  - 집합 B가 집합 A를 포함하고 있으면 B는 A의 확대 집합입니다.

부분집합(Subset)과 확대집합(Superset)

 
 (2) 학술적 설명
  - 부분집합(Subset) : 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함될 때입니다.
   * A⊆B ⇔ {(∀a ∈ A) ∈ B}  : 집합 A의 모든 값은 집합 B에 포함된 것입니다.
   * A⊆B ⇔ ｜A｜≤｜B｜ : 앞선 강의의 카디널 리티(원소의 개수)를 의미하며 A 원소 개수는 B의 원소의 개수보다 반드시 작거나 같아야 합니다. 당연하겠죠. 포함되어 있으니까요.
  - 전체집합(Superset) : 집합 B의 관점에서 보면 됩니다. 즉, 집합 B가 집합 A를 포함하고 있으면 B는 A의 확대 집합입니다.
 

4. 진부분 집합(Proper Subsets)과 진확대집합(Proper Superset)

 (1) 쉽게 설명
 - 진부분집합 : 부분집합과 동일하나, 적어도 B의 원소 중 하나는 A에 포함되지 않아야 한다 아니다. 그림을 보시죠.
 - 집합 A와 B는 동일하나, B가 3을 하나 더 가지고 있죠? 이때 A를 B의 진부분 집합이라고 합니다. 어라... 위의 확대 집합과 똑같죠? 영어도 그렇듯 비슷한 모양을 이렇게도 부르고 저렇게도 부른답니다.. 이걸 반대로 생각하면 진 확대 집합입니다.

진부분집합(Proper Subsets)

 (2) 학술적 설명
 - 집합 A, B에 대해 A가 B의 subset이지만 완전히 같지는 않을 때, A는 B의 proper subset이라 한다.
 - A⊂B ⇔ {(∀a ∈ A) ∈ B} ∧ [A ≠ B] : A의 원소가 모두 B에 포함되지만 A와 B는 다른 경우입니다. 이걸 반대로 생각하면 진 확대 집합입니다.
 
 쉽게 설명 부분만 읽으셔도 프로그래밍 시 큰 어려움이 없습니다. 감사합니다.
 
5. 부록 : 집합 관련 수학 기호

집합관련 수학기호