집합의 연산 : 단항연산(멱집합, 여집합), 다항연산(교집합, 합집합, 차집합, 대칭차집합, 데카르트곱)

 집합의 연산(Operations on Sets)이란 일정한 규칙을 통해 새로운 집합을 만들어 내는 과정입니다. 머신러닝에서 자주 관련 식들이 등장할 예정이니 이해하고 넘어가시면 큰 도움이 될 것 같습니다.

 

1. 단항 연산(Unary Operations) : f : A ⇒ B

 단항 연산이란 하나의 집합에서 새로운 집합을 만들어 내는 것입니다.

 

 (1) 멱집합(power of sets) :  집합 A의 모든 부분집합들을 원소로 갖는 집합. 아래 그림의 파란색이 A의 멱집합 입니다.

  - 예로 A = {1, 2}이면 A의 멱집합은 아래와 같습니다.

  - A의 멱집합 : {}, {1}, {2}, {1, 2}, 즉 A의 모든 부분집합입니다. 파란색 동그라미들과 동일합니다.

멱집합(power of sets)

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 - 아래는 수학적 증명입니다.

 - P(A) = {XㅣX⊆ A), 멱집합 A의 X는 A의 부분집합의 원소라는 뜻입니다.

 - 집합의 원소의 개수가 n 개라면 멱집합의 개수는  2^n입니다.

 

 (2) 여집합(complement of sets) : A에 속하지 않는 모든 집합이며 Ac라 표현한다.

  - 아래 그림에서 A집합이 아닌 값은 Ac = {3, 4}가 된다. 빨간색 동그라미를 제외한 모든 값입니다.

여집합

 - 아래는 수학적 증명입니다.

 - Ac = {xㅣx ∉ A), A의 여집합의 원소 x는 A집합에 포함되지 않는다는 뜻입니다.

 

2. 다항 연산(Binary Operations) :  f : A × B ⇒ C

 여러 개의 집합에서 새로운 집합을 만들어 내는 것입니다.

 

 (1) 교집합(Intersection of sets) : A와 B 양쪽 모두에 속하는 집합입니다.

  - 아래 그림에서 A = {2, 4, 6}이고 B = {3, 4, 5} 일 때 A와 B의 교집합은 {4}입니다. 즉, 녹색입니다.

교집합

  - 아래는 수학적 증명입니다.

  -  A ∩ B = {xㅣ(x ∈ A)  ∧ (x ∈ B) }

  - 교환 법칙, 결합 법칙, 분배 법칙이 성립됩니다.

교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

  - 교집합이 여러 개 있을 경우 아래 그림과 같이 표현합니다.

교집합이 여러개 있을 경우

 

 

 (2) 합집합(union of sets) : A 또는 B에 속하거나 양쪽 모두에 속하는 원소들의 집합입니다.

 - 아래 그림에서 A = {1, 2}이고 B = {2, 3}일 때 A와 B의 합집합은 {1, 2, 3}입니다. 

합집합

  - 아래는 수학적 증명입니다.

  -  A ∪ B = {xㅣ(x ∈ A)  ∨ (x ∈ B) }

  - 교환 법칙, 결합 법칙, 분배 법칙이 성립됩니다.

교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

  - 합집합이 여러 개 있을 경우 아래 그림과 같이 표현합니다.

합집합이 여러개 있을 경우

 

(3) 차집합(set difference) : A에는 속하나 B에는 속하지 않는 집합입니다.

 - 아래 그림에서 A = {1, 2}이고 B = {2, 3}일 때 A와 B의 차집합은 {1}입니다. 즉 녹색 부분입니다.

차집합

  - 아래는 수학적 증명입니다.

  -  A - B = {xㅣ(x ∈ A)  ∧ (x ∉ B) }

 

 (4) 대칭 차집합(symmetric difference) : 한 집합에는 속하지만 다른 두 집합 모두에는 속하지 않는 집합

  - 아래 그림에서 A = {1, 2}이고 B = {2, 3}일 때 A와 B의 대칭 차집합은 {1, 3}입니다. 즉, 녹색입니다.

대칭차집합

 

 (5) 데카르트곱(Cartesian product of sets) : A 집합의 x이면서 B 집합의 y인 집합입니다.

 -아래 그림을 보시면 A = {x, y, z}이고 B = {1, 2, 3} 일 때 A와 B의 데카르트 곱은 아래와 같습니다.

 - 1행 1열 : (x, 1), 1행 2열 : (x, 2), 1행 3열 : (x, 3)

 - 2행 1열 : (y, 1), 2행 2열 : (y, 2), 2행 3열 : (y, 3)

 - 3행 1열 : (z, 1), 3행 2열 : (z, 2), 3행 3열 : (z, 3)

데카르트곱

  - 아래는 수학적 증명입니다.

  -  A × B = {(a, b)ㅣ(a ∈ A)  ∧ (b ∈ B) }

  - 좌표를 나타낼 때 많이 사용됩니다.

 

3. 집합의 항등

위에서 설명한 집합의 항등식은 아래와 같으니 참고만 하십시오.

집합의 항등