앞 장에서 파동방정식을 유도하기 위한 기본 과정과 State of Equation을 알아보았습니다. 이번 장에서는 Continuity Equation과 Euler's Equaiton을 유도해 파동방적식(Wave Equation)을 만들어 보겠습니다.
1. The equation of continuity : 밀도와 미소입자의 상관관계
아래 그림을 보시면 질량이 유입되는 양과 출력되는 양의 차이는 dv안에서의 질량 변화량과 같게 됩니다(질량 보존의 법칙)
(1) The mass entering the volume dv
우선 dv안으로 들어가는 mass flow rate는 아래 그림과 같습니다.(이때 dv는 미소공간에 있는 density의 변화량이 이해하면 됩니다.)
좌항을 살펴보면 시간 변화량에 따른 밀도와 체적의 변화량을 보는 것인데 dv는 우항과 같이 면적 A와 미소길이 dx와 같이 나타낼 수 있겠지요. 그리고 dx/dt는 particle velocity이므로 최종적으로 위와 같이 나타낼 수 있습니다. 살펴보면 특정 밀도로 A라는 단면적을 x축으로 통과하는 미소입자들의 속도라고 봐도 무방하겠습니다.
(2) The mass exiting the volume dv
위식과 상당히 유사한데 우선 좌변을 보면 미소길이만큼 이동했기 때문에 x가 포함된 모든 항에 x + dx를 해줍니다.
그리고 일괄적으로 정리해 준 후 dx 길이에서의 밀도 변화는 미소량이므로 무시하고 정리하면 아래와 같습니다.
위 식에서 중요한 점은 ρ = ρ0+ρ '인데 ρ'는 미소량이므로 ρ0로 위식을 통일했으며, 양변을 정리하면 exiting term과 entering term으로 최종 분리됩니다. 우리가 ρ = ρ0+ρ '를 ρ = ρ0로 풀 때는 wave eq는 선영화 된 것과 동일한 의미입니다.
위 식에서 ρ0는 정지해 있을 때 밀도 함수이므로 시간축에서 미분하게 되면 당연히 0이 됩니다. 최종 식의 좌변의 경우 density fluctuating의 시간변화율을 의미하고 우변의 경우 particle velocity의 공간에 대한 변화율이다. 우리는 이식을 Continuity equation이라 칭합니다.
2. Euler's Equation
오일러 방정식은 힘의 방정식을 이용하게 됩니다.
위와 같이 미소 면적에 작용하는 입자의 힘은 모멘텀 체인지와 같으며, F = mA가 성립하게 됩니다. 이때, 좌변은 미소 면적에 작용하는 힘을 압력과 면적으로 나타낸 것이고 우변은 앞장에서 설명한 m을 그대로 적은 것입니다. 우변을 설명하면, 일정 밀도로 되어 있는 공간에 시간에 따라 particle velocity가 움직이는 것과 동일합니다. 힘을 가하면 당연히 particle velocity가 변하지 않겠는가.
이것을 쭉 정리하면 압력과 particle velocity 함수와의 관계로 나타낼 수 있는데, particle velocity를 시간과 공간의 함수이기 때문에 전미분하면 위와 같은 수식이 유도된다.
그리고 미세 길이 dx에서 particle velocify는 무시할 수 있으므로 정리하면 최종 식을 얻을 수 있다. 앞서 말씀 드렸다 싶이 p = p0 + p'에서 p0는 정적인 함수이므로 미분하면 0이 된다.
3. Wave Equation : 파동방정식
앞서 유도한 방정식 3개를 최종적으로 아래와 같이 나타내었습니다. 우선 state of equation은 밀도와 압력의 비를 sound speed와의 관계로 나타낸 것입니다. Euler's equation은 압력과 particle velocity와의 관계를 나타낸 것입니다. 마지막으로 Continuity equation은 밀도와 particle velocity와의 관계로 나타낸 것입니다.
자 그럼 아래와 같이 3가지 방정식을 연립해 보겠습니다. 우선적으로 Euler's equation은 차 후에 다루고 continuity equation과 state of equation을 연립해 보겠습니다. state of equation의 ρ'를 continuity equation에 대입하여 그대로 적으면 아래와 같은 수식이 나오게 됩니다.
두 식을 particle velocity항으로 남겨두고 정리한 후 (1). (2)의 좌변을 동일하게 하기 위해 x와 t로 미분하게 되면 아래와 같습니다. (1)의 우변을 보시면 어차피 P'항은 x에 대해 미분해 봤자 동일하므로 빨간색 네모박스와 같고 (2) 항도 P'항을 시간에 대하여 미분하여도 그대로 아래 빨간색 네모 박스와 같이 나오게 됩니다. 동일하게 미분을 하였으므로 같다고 두고 최종 정리하면 Wave equation을 계산할 수 있습니다.
위 식을 최종 정리하면 아래와 같이 1차원에서의 Wave Equation을 구할 수 있습니다.
Wave Equation은 공간과 시간의 함수로서 표현되고 이 방정식의 solution을 이용해 경계면에서 반사/투과에 대한 정보를 최종적으로 얻어 볼 것입니다. 고생하셨으며, 이제 이 방정식으로부터 다양한 결과를 얻어내 봅시다.
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