이전 강의에서는 경계조건에서 파동방정식이 어떻게 사용되는지의 개념과 plane wave solution에서 전파가 어떻게 전파되는지 확인해 보았습니다. 이제 다른 경계조건에서 음파가 어떻게 전파되는지 살펴보지요.
1. Rigid Boundary : particle velocity μ = 0 at x = 0
경계조건을 보면 particale velocity는 x가 0인지점에서 0이라는 것이다. 즉, 딱딱한 표면에서는 입자의 움직임이 없다는 뜻인데 어떤 의미인지 알아보겠다.
우선 continuity equation과 state of eqution을 조합해 보겠다.
두 방정식을 간단히 조합하고 particale velocity μ의 관점에서 정리 후 plane wave solution의 total pressure P를 아래와 같이 대입한다.
P를 대입한 후 파셜 t에 대하여 미분하여 정리하면 위와 같이 수식이 정리된다. 그리고 μ를 파셜 x에서 대하여 적분하게 되면 오롯이 particale velocity μ의 관점에서 수식을 바라볼 수 있다.
적분 후 정리하게 되면 위와 같이 수식이 나오게 되고 Pi(입사)와 Pr(반사) 관점에서 수식이 최종 정리 된다. 그리고 Pi와 Pr은 total pressure P로 나타낼 수 있고 μ는 벡터이므로 부호를 가지고 있다.
(1)에서 μ의 조건은 음압이 커지면 μ도 커지고 음속이 빠르거나 밀도가 높으면 μ는 작아진다. 그리고 (2)의 조건이 매우 중요한데 위 μ식에 x=0의 조건에서 정리하게 되어 0이 되게 하려면, 최종적으로 A=B가 되어야 한다. 즉, Rigid boundary에서는 Amplitude의 변화가 없다. 이 조건을 가지고 Reflection coefficient를 정의할 수 있다.
※ Reflection coefficient
아래 Reflection coefficient R은 1이라는 것을 알 수 있고 경계면에서 잃어버리는 에너지가 없다는 뜻이다. 따라서 total pressure P를 오일러 공식을 대입하여 정리 후 실수값을 취하면 아래와 같은 최종식이 나오게 된다.
Re [P]에서 2 Acoswtcoskx를 standing wave라고 칭한다. standing wave라는 것은 정상파 또는 멈춰있는 파라고 하고 물리학에서 진폭의 크기가 시간에 따라 변화되지 않는 파동이다. 진동의 마디(Node)의 위치는 공간적으로 이동하지 않는다. 쉽게 말해 진행/움직이지 않고/정지해서 제자리에서 진동하는 파동처럼 보입니다.
위 그림을 확인해 보면 파란색의 입사파와 녹색의 반사파가 있는데 위상 및 크기가 변하지 않으므로 최종 신호의 amplitude는 중첩(superpositon)되어 2배로 보인다. standing wave를 삼각함수 공식에 의해 최종 정리하면 아래와 같다. 어떤가? x축에서 방향만 반대이지 크기와 위상 모두 같은 파형이다.
공간에서 wave가 합쳐지면 standing wave가 형성된다. 따라서 수신기를 어디에 위치하는지에 따라 수신되는 음파의 amplitude가 달라지게 된다.
2. Pressure release surface : P = 0
Pressure realse surface는 해표면이라 보고면되고 경계조건은 P = 0이다. 즉 투과되는 음파는 없다는 뜻인데 이는 어떠한 의미인지 알아보도록 하자.
앞서 정리한 거와 같이 음압 P를 정리하고 x = 0인 조건에서 입사파와 반사파를 정리하면 최종적으로 A = -B가 된다. 이를 이용해 Reflection coefficient를 정의할 수 있다.
※ Reflection coefficient
아래 Reflection coefficient R은 -1이 되며 위상이 반대로 뒤집혀서 반사되는 것을 알 수 있다. 따라서 B에다 -A를 넣고 오일러 공식을 넣어 정리하면 아래와 같고 거기에 삼각함수 방정식을 조합하면 Asin(wt-kx)-Asin(wt+kx)가 되는 것을 알 수 있다. 이 또한 standing wave이며, sin이기 때문에 위의 Rigid 조건과 nodal point가 다른 것을 알 수 있다.
경계조건이 Rigid인지 또는 Pressure release인지에 따라 위상이 변화한다는 것만 인지하고 있으면 된다. 자 그럼 실제 환경에서는 자갈이나 흙 또는 뻘들이 있을 수 있지 않은가. 그럴 경우 어떻게 파형을 유도하는지 다음 강의에서 알아 보록 하겠다.
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