이전 강의에서 파동방정식과 plane wave eqution을 이용해 Rigid/Pressure release boundary에서 전파의 방향 및 반사조건에 대해 알아보았습니다. 이번에는 중간 어디인가 존재하는 경계 조건으로 설명해 보겠습니다.
1. Absorbent relection : neither Rigid nor Pressure release
이전가 유사한 값들을 보실 수 있을 것입니다. 입사와 반사에 대한 plane wave eqution인대 반사에 R이라는 계수가 하나 더 생겼습니다. 이는 반사로 인해 감쇄되는 에너지를 나타내기 위해 적은 것이고 그 값은 -1과 1사이입니다. 이전에도 말씀드렸다 싶이 -1은 Pressure release, +1은 Rigid 조건으로 실제 자연계에서는 진흙 또는 자갈 그리고 뻘 등이 있으므로 그들이 이 값 사이에 존재할 것입니다.
아래의 수학적 정리를 살펴보시면 Total pressure에서 단순히 정리만 한 것입니다.
위와 같이 정리 후 삼각함수 기법을 적용하면 최종적으로 Acos(wt-kx) + ARcos(wt+kx) 모양이 나오는데 이전가 반대로 R term이 그대로 있는것을 확인하실 수 있습니다. 입사때는 큰 영향이 없으나 반사에서 차이가 나겠지요. 그리고 1+R-R은 결국 1이므로 단순 히 수식을 쉽게 표현하기 위해 이런식으로 유도한 것이니 따라하시면 됩니다.
2. x, z 축에서 입사각 θ를 고려한 파형
실제 파형은 아래 그림처럼 θ의 각으로 경계면에 입사되는 것이 일반적일 것입니다. 여기서 그림과 같은 방향이 x, z축에서 +이고 wave number는 이전에 말씀드린거와 같이 k가 될 것입니다.
그러며 Rigid 조건에서 Pi가 θi각으로 입사되면 Pr과 θr이 어떻게 되는지 확인해 봅시다. 우선 입사신호와 반사신호는 아래와 같습니다. 자세히 보시면 이전에 보여드린 Pi 및 Pr과 동일하나 단지 wave number 부분의 k값이 입사각에 의해 변화되는 것을 알 수 있습니다. 즉 입사각에 의해 wave number가 변동하게 됩니다. ksinθix는 x방향에 wave number이고 kcosθiz는 z방향에 wave number입니다. 만약 θi가 0이라면 z방향의 kz만 남아 앞서 봤던 (wt+kz) 꼴이 되게 됩니다.
다시 정리드리면 이전에는 θi가 0이라는 조건에서 수식을 전개하였으나, 이제는 θi가 특정 값을 가진다는 조건에서 수식을 정리할 것입니다.
그리고 파형이 입사시에는 x축/z축으로 파형이 전파되고, 반사시에는 x축으로 가나 z축기준으로 위로 올라가기 때문에 -z를 넣게 됩니다.
앞서 정리한 것과 같이 경계조건 적용을 위해 μ관점에서 수식을 정리해야 겠고 그러기 위해서는 아래와 같이 Euler's equation을 사용합니다.
공간적으로 x 또는 z방향으로 바뀔때는 노테이션만 바꿔주면 됩니다. 자 그러면 앞서 정리한 P 값을 오일러 방정식에 넣고 미분하게 되면 아래와 같습니다.
그리고 μ만 남기기 위해 dt에서 적분을 해야 겠지요. exp의 미분 적분은 단순하기 때문에 기타 자료를 참고하시기 바랍니다.
최종적으로 위와 같이 입사파와 반사파를 분리할 수 있습니다. 이렇게 μ를 계산하였으니 우리는 z=0이라는 경계조건만 적용하여 수식을 정리해 봅시다.
z에 0을 넣고 정리하게 되면 위와 같이 풀이가 됩니다. 이때 위 수식이 0이되려면 결국 θi와 θr이 같아야 하고 Pi와 Pr도 같아야 합니다. 즉 입사각과 반사각이 동일하고 잃어버리는 에너지 손실이 없다는 이야기 입니다. 뭐 당연한 것이겠지요. 앞서 Rigid boundary에서도 손실이 없었던거 기억 하실 겁니다.
위의 경계조건의 해를 Pi와 Pr에 그대로 대입하여 total pressure를 계산하면 아래와 같습니다.
정리된 식의 앞은 standing wave로 전파가 마치 멈춰있는거와 같으나 식의 뒤와 같은 경우는 propagation wave로 정의되어 있습니다. 즉 저 term으로 인해 전파는 앞으로 전진하게 됩니다. 그리므로 어디에 수신기를 두더라도 크기값이 계속 변동이 생길 것입니다. 반대로 standing wave는 앞서 설명한거와 같이 nodal point 지점에서는 크기가 변하지 않겠지요.
아래는 standing wave와 propagation wave를 설명한 것입니다.
다음 강의에서는 음파가 경계면을 투과할 때 발생되는 음압감소와 θ 변화를 알아보도록 하겠습니다. 수고하셨습니다.
'대학 과목 > 해양물리학' 카테고리의 다른 글
| 파동의 전파 : 경계 조건 중 Rigid Boundary & Pressure release surface (11) | 2023.04.25 |
|---|---|
| 파동의 전파 : 경계 조건(Boundary Condition) (9) | 2023.04.24 |
| 파동의 전파 : 수중에서 파동방정식 유도하기(2), Continuity Equation & Euler's Equation (4) | 2023.04.23 |
| 파동의 전파 : 수중에서 파동방정식 유도하기(1) (18) | 2023.04.22 |
