앞서 Wave Equation을 풀어 보았는데 그 해가 어떻게 사용되는지 알아보겠습니다. 즉, 특정 경계 조건을 만났을 때 음파가 어떻게 진행되는지 확인하겠습니다.
1. 개념
아래 두 가지 개념에서부터 Wave Equation을 풀어보겠습니다.
(1) pressure release boundary(음압이 투과되지 못하는 곳)
(2) Rigid boundary(딱딱한 고체)
위 그림은 오른쪽 도파관(Ideal wave guide)에서 음파가 어떻게 반사/굴절/회절/전파되는지 나타낸 것으고 도파관의 위쪽은 pressure release boundary(공기중) 아래쪽은 Rigid boundary(돌)로 표현된 것입니다.
그러면 경계조건 설명에 앞서 이전에 설명드린 방정식들을 한번 리마인드 해 보겠습니다.
위 그림에서 3가지 방정식들간의 관계를 나타낸 것이고 이를 수식적으로 나타내면 아래와 같습니다. 또한 wave equation도 서술하였습니다.
자 이렇게 4줄 적으려고 앞서 많은 유도를 하였죠. 이제 이 wave equation에 plane wave solution을 대입하여 해석을 해보겠습니다.
Pane wave solution은 시간(t)과 공간(x)의 텀이 다 있는 것이죠. 이때 w는 2*pi*fc를 나타내고 k는 wave number를 나타내는데 아래에서 한번 더 설명드리겠습니다. 어찌 되었든 plane wave solution 형태로 파형은 전파되게 됩니다.
우선적으로 위의 wave equation과 plane wave solution을 결합하여 정리할텐데 wave equation을 살펴보면 좌변의 경우 P'를 x에 대하여 2번 미분하였고 우변의 경우 P'를 t에 대하여 2번 미분하였으므로 Plane wave solution의 P를 두번 미분하여 대입할 것이다.
위와 같이 미분 결과가 나온다. exp의 미분은 정말 간단하니 공식은 네이버를 찾아 보도록 하자. 그냥 미분 항만 앞으로 나이기 때문에 쉽게 할 수 있을 것이다.
Plane wave solution과 wave eqution 조합을 하게 되면 위와 같이 나오게 되고 앞서 말씀드린 wave number k는 주파수와 sound speed 간의 상관관계가 있다.
이제 수식도 구했으니 평면파가 전파되면 어떻게 되는지 한번 알아보자.
2. Normal incident : 전파의 방향을 확인
x = 0라는 boundary에 음파가 입사 또는 반사되는 위 그림과 같이 Pi와 Pr로 plane wave solution을 나타낼 수 있고 주의해야 할 적은 x축에서 반대편으로 가면 "-"로 음의 부호가 붙는 것을 조심해야 한다. 또한 반사로 인해 크기가 바뀔 수 있으므로 A를 B로 표시하였다.
입사파의 방향성을 알아보기 위해 아래와 같이 Pi에 실수값을 취하면 Acos(wt-kx)만 남게 된다. exp = cosx + isinx이기 때문에 sin term이 없어지고 남아 있는 것이다. 그리고 뮤는 wt - kx라 칭하고 constant 하다 가정한다. constant의 의미는 wave 파형이 변하지 않는다는 의미이다.
여기서 constnat한 파형을 시간에 대해서 미분을 하게 되면 0이 된다. 따라서 식을 정리하게 되면 시간에 따른 x의 변화량은 c(sound speed)와 동일하다고 알 수 있고 양의 수라 Right going wave라 칭한다.
그러면 이번에는 Pr에 실수를 취하고 위와 동일한 과정으로 수식을 풀어보자
반사파의 경우 시간에 따른 x의 변화량은 -c이므로 이를 Left going wave라 칭하게 된다. 즉 반대 방향이라는 의미이다. 이때 최종 total pressure는 아래와 같다.
여기까지 plane wave solution과 wave equation간의 조합을 한번 알아보았고 plane wave solution의 방향성을 어떻게 나타내는지도 확인해 보았다. 다음 강의에서는 앞서 정의한 pressure release boundary, Rigid boundary, 그 외 boundary에서 plane wave solution이 어떻게 적용되는지 알아보자.
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