안녕하십니까. 통신 또는 전파 그리고 진동에 관련된 학문을 하시는 분들은 반드시 파동방정식을 이해하며, 유도하실 수 있어야 합니다. 그럼 한번 알아보시죠.
Acoutic Wave Equation
수중 파동 방정식은 압력, 밀도, 미소입자의 속도로부터 유도할 수 있습니다
1. 개념
아래 그림을 보시면 음속에 따라 그리고 구간에 따라 음파의 전파가 어떻게 되는지 나타내고 있습니다. 이렇게 모델링을 하기 위해서는 Acoutic Wave Equation과 경계조건을 알아야 합니다. 이를 자세히 설명드리겠습니다.
2. 각 노테이션의 의미
(1) P(Total Pressure) : 총 음압
P0의 경우 피스톤이 움직이지 않은 멈춰있는 상태의 압력입니다. 이를 정압상태라고도 합니다. P'는 피스톤이 움직였을 때를 나타내며, 외부의 외력 또는 진동이 가해진 상태입니다.
(2) ρ(Total Density) : 총 밀도
ρ0는 피스톤이 움직이지 않은 멈춰있는 상태의 밀도입니다. ρ'는 변동 밀도로써, Acoutic Pressure가 발생하면 ρ'가 발생하게 됩니다.
(3) μ(Particle Velocity) : 입자들의 속도
μ0는 피스톤이 움직이지 않은 멈춰있는 상태의 입자속도입니다. μ'는 밀도 변화가 발생하여 움직이는 미세 입자의 속도 입니다.
위 3가지 노테이션의 관계로 우리는 파동방정식을 유도할 것입니다. 아래 그림을 보시면, 각 노테이션들 간의 관계를 나타낸 설명인데 3개의 방정식이 유도되게 됩니다. 이 3개의 방정식을 유도하여 결합하면, 파형이 어떻게 전파되는지 최종적으로 알 수 있게 됩니다.
대표적으로 State of equation, Euler's equation, Continuity equation이 나오게 됩니다. 우선 State of equation부터 유도해 보실까요?
3. State of equation
Cp라는 속도로 피스톤을 밀면, c라는 속도로 웨이브가 전파되면서 wave front가 발생하게 됩니다. 이때 총힘은 압력과 단면적의 곱으로 표현할 수 있겠지요. 단면적이 크면 클수록 힘이 많이 들겠지요?
제일 위의 그림에서 to는 시간축 상에서 피스톤이 멈춰있는 상태를 의미하며, 밀도와 압력 또한 멈춰있겠지요. 이때 Cp라는 속도로 피스톤을 밀면, c라는 속도로 wave front가 발생하게 됩니다. 이때, 피스톤이 미세하게 움직인 거리는 dx2라 나타내고 wave speed c와 미소시간 dt의 곱으로 나타낼 수 있습니다.
그리고 피스톤이 이동한 거리 dx1은 Cp와 미소시간 dt의 곱과 같겠지요. 여기서 피스톤을 밀게 되면 당연히 압축이 일어나게 되고 질량보존법칙에 의해 압축이전의 질량과 압축 이후의 질량이 같다고 가정하면 아래와 같은 수식을 유도할 수 있습니다.
위 압축 후의 질량을 한번 알아보실까요? 총질량은 ρ(밀도) 곱하기 v(속도)로 표현할 수 있습니다. 그때 총밀도는 정적밀도와 변동밀도의 합과 같고 속도 v는 단면적 곱하기 총 이동거리니까 수식은 위와 같습니다. 그리고 총 이동거리 dx2와 dx1은 입자들이 속도 c와 움직 시간과 같겠지요? 이를 정리하면 밀도들의 합과 그리고 단면적, wave speed c, 미소 시간과의 관계로 나타낼 수 있습니다.
그러면 압축이 가해지기 전의 질량은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.
피스톤이 움직인 게 없으니 ' 텀이 들어가는 부분은 제거되고 dx2는 cdt로 나타내어 정리한 것뿐입니다. 여기서 아까 말씀드렸던 질량보존의 법칙에 의해 mass before compression과 mass after compression이 같다는 것입니다.
질량보존의 법칙을 사용하면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.
위 식은 mass before compression과 mass after compression가 같다고 그냥 정리한 것입니다. 여기서 중요한 부분은 ρ'와 p' 그리고 Cp는 ρ0, p0, c보다 아주 작다는 것입니다. 그러므로 ρ'와 p' 그리고 Cp항은 제거하고 정리하면 I과 같습니다. 여기서 식을 하나 유도 했으니 다른 조건에서 한번 더 유도해 보시죠.
아래는 Impuilse momentum theorem입니다. 이의 의미는 충격량은 질량 곱하기 속도와 같다는 것입니다.
위 식을 살펴보면 힘은 압력 곱하기 단면적이죠. 우선 Fdt 힘 텀을 보시면 단면적 A에 정적 압력과 유동 압력의 합을 곱해 정적 압력에 단면적 A를 곱한 거에 차를 하는 것과 같겠지요. 그러면 이동한 압력 값이 나오게 됩니다. 그리고 m은 위에서 계산거 그대로 사용하면 됩니다. 단지 dv 부피를 나타내야 하기 때문에 단면적 A에 총 이동거리까지 곱해야 합니다. 위의 m 식을 정리하여 나타내면 ρ0에 단면적 A곱하기 시간당 이동거리 파셜 x2 / 파셜 t로 타내고 피스톤을 밀기 전/후으로 정리해 연산하게 되면 최종적으로 위와 같이 유도할 수 있습니다.
위에서 정리했기 때문에 손쉽게 우리는 정리할 수 있습니다.
최종 계산된 P'A = ρ0 ACCp에 앞서 계산된 I 식을 정리 후 CP에 대입하게 되면 밀도와 압력의 비는 음파의 속도 제곱과 관련된 State of equatin을 유도할 수 있습니다.
다음 장에서 계속해서 The equation of continuity를 유도해 보도록 하겠습니다.
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