항상 수학이나 공학등을 하다 보면 다양한 수식을 접하게 된다. 그러다 보면 어느새 수식에만 매몰된 경우가 많고 정확한 이해를 하지 않고 너무 가는 경우들이 왕왕 있다. 따라서, 우리는 원하는 포인트의 의미와 개념을 정확히 이해할 필요가 있다.
1. 오차함수의 개념
오차함수를 수학적으로 나타내면 아래와 같다.
그리고 저 수식에 대하여 가우스 적분과 가우스 정규분포를 유도해서 설명이 되어 있을 것이다. 그리고 유도를 했으니 끝이다라는 자료를 많이들 접하셨을 텐데 저는 개념적으로 간단히 설명드리겠다.
오차함수는 직관적으로 설명하자면, 우리가 원하는 값에 예측된(계측된) 값이 얼마큼 도달했느냐이다. 투수가 공을 던지더라도 스트라이크존에 항상 들어갈 수 없을 것이다. 그러다 보면 A라는 투수의 정확도는 89%, B라는 투수는 81% 이런 식으로 수치가 나오게 되는데, 이를 토대로 아주 간단히 설명하면 A 투수 정확도의 오차함수는 100 - 89 = 11%, B 투수 정확도의 오차함수는 100 - 81 = 19% 이런식으로 생각하시면 간단하다고 본다.
위 그림을 보면 우리가 원하는 제품의 100% 컨디션이 빨간색이고 실제로 만들어지는 것을 파란색이라고 하자. 그러면 불량률(오차함수)은 원하는 값과 예측값의 차이인 것이다.
이런 값들은 다양한 통계나 확률 통신 등에 다방면으로 넓게 사용이 된다. 우리의 오차정도를 어느 정도 알고 있다면 대처가 가능하기 때문이다. 대략적인 개념을 최대한 쉽게 설명하려고 하였는데 도움이 되셨는지 모르겠다.
2. 가우스 정규분포와 가우스 적분 그리고 오차함수
오차함수를 설명하기 위해서는 가우스 적분과 가우스 정규분포의 이해가 필요하게 된다. 최대한 수학적인 설명을 자제하도록 하겠다.
(1) 가우스 정규분포
가우스 정규분포는 간단히 설명하면, 평균/표준편차/분산으로 우리 실생활에 일어나는 모든 일들의 확률들을 밀도함수로 나타내었다고 생각하시면 된다.
μ = 모평균, σ = 모표준편차, π = 3.14159, e = 2.71828. 이 확률밀도함수는 모든 정규확률분포가 두 개의 모수(parameter), μ와 σ에 따라 달라짐을 보여준다.
위 가우스 정규분포 그림을 평균 0을 기준으로 각 일어날 확률들을 포함한 것이다. 4 시그마의 경우 일어날 확률이 0.0013%밖에 되지 않는 것을 알 수 있다. 우리가 품질 등을 보증할 때 6 시그마를 맞춘다고 하는데 그만큼 불량률이 낮다는 것이다.
그렇다면, 저 가우스 분포의 면적을 계산하면 자연스럽게 오차가 얼마나 발생할지 파악이 가능하게 된다. 그래서 가우스 정규분포를 적분하면 오차함수다 라는 말이 나오는 것이다.
즉, 오차함수는 평균으로부터 얼마큼 떨어져 있느냐! 와 같다. 다시 한번 더 말하지만, 가우스 정규분포는 어떤 사건이 일어날 확률이다.
위의 그래프를 보면 평균 m을 기준으로 시그마만큼의 일어날 확률을 가우스 정규분포가 나타내고 있고 이 시그마만큼 적분을 하게 되면 왼쪽 그래프인 오차함수가 나오게 된다. 오차함수에서 시그마가 커질수록 1에 가까운 값을 나타내게 되는데 1에 가깝다는 말은 제품이 "쓸모없는/쓰레기 같은"이라고 생각해도 무방하다. 그리고 0에 가까울수록(넓이가 없을수록) 제품의 하자가 없다고 해도 무방하다. 이제 어느 정도 이해가 되셨으면 한다.
3. 정리
오차함수는 가우스 정규분포를 적분해서 얻어진 것과 동일하다. 가우스 함수는 "random" event들의 분포이며 평균 0을 기준으로 해서 얻어지게 된다. 즉 평균값 0을 기준으로 평균값과 다른 값을 가질 확률들을 나타내는 분포를 가우스 정규분포라고 생각하시면 된다. 평균값과 멀리 떨어질수록 오차가 크고 가까울 경우 오차가 작아지게 된다. 위의 오차함수 그래프를 확인해 보면 0에 가까울수록 기울기가 큰데 그만큼 사건이 발생할 확률이 높다고 생각하시면 된다.
어찌 되었든 이것을 수학적인 함수로 나타내면 가우스함수의 적분을 통해 얻어지게 되고 이를 오차함수라고 우리는 부른다. 다음 강의에서는 오차함수를 좀 더 심화하게 알아보도록 하겠다.
일반인의 경우 오차함수는 우리가 원하는 값과 실제값의 차이가 얼마큼 발생하였느냐? 정도까지만 이해하셔도 무방하겠다.
