빔포밍(Beam Forming)의 개념과 이를 위한 구면좌표계(Spherical Coordinate)

 빔포밍은 어느 물체가 어느 방향에 있는지를 알기 위한 기술 중 하나이다. 나중에 개념부터 말할 텐데 우선 어느 방향에 있는 물체를 이해하기 위해서는 구면좌표계에 대한 이해가 필요하기에 잠깐 설명하겠다.

 

1. 빔포밍(Beam Forming)의 개념

 빔포밍은 사물이 어느 "방향"에 있는지 알기위한 기술이다. 필자의 경험에 비춰서는 주로 군사적으로 많이 사용된다. 특히 적 잠수함/비행기 등의 플랫폼을 추적할 때 사용된다.

빙포밍 예시

 

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 위 그림을 확인하면 레이더 플롯에서 90도 방향에 빔이 크게 형성된것을 알 수 있다. 즉, 90도 방향에 전투기가 있다고 판단하는 것이다. 이렇게 빔포밍이란 기술이 사용된다.

 

 그러면 빔포밍이란 무엇일까? 간단히 설명드리면 다수의 수신기를 이용해 수신된 신호들을 이렇게 저렇게 조합해 보니 가장 강하게 또는 가장 약하게 나타나는 것을 말하는데 위의 레이더 플롯을 보면 0도부터 360도까지 변화시켜 보니 90도에서 가장 신호가 강해지는 것을 볼 수 있지 않은가? 이게 빔포밍이다.

 

 아래 그림을 확인해 보면 전투기의 소음이나 전파가 수신기로 특정 Theta로 수신되는 것을 확인할 수 있다. 이때, Theta가 60도라고 한다면, 0도부터 360도까지 수신데이터를 변경하면 60도에서 가장 큰 빔이 형성된다.

다수 수신기를 이용향 방향탐지

 

 

 이런 원리라고 생각하시면 되고 이때, 가장 중요한 값 중 하나가 수신기의 위치와 간격등의 정보이다. 만약 공간상에 이러한 빔포밍을 이해하기 위해서는 구좌표계를 이해할 수 있어야 한다.

 

2. 구좌표계(Spherical Coordinate)

 

구좌표계

 

 구좌표계를 보면 까만색 부분의 넓이와 그리고 그 부분에서의 x, y, z좌표를 계산하는 부분이 나와있다. 그러면 이 좌표들이 어떻게 나오는지 알아보도록 하자.

 위의 그림에서 z축에서 x축으로 회전하는 방향을 Theta, x축에서 y축으로 회전하는 방향을 Phi라고 했는데 이 두 값의 표현 방법은 언제든지 바뀔 수 있다. 아래부터는 그 표현 방법을 바꿔서 설명드리겠다.

 

구좌표계 직교좌표계로 표현

 P가 전투기가 있는 위치이고 이를 P(ρ, θ, Φ)로 나타내고 ρ 거리에서 x축을 기준으로 θ만큼 회전하고 z 축을 기준으로 Φ만큼 회전한 곳에 전투기가 존재한다는 의미이다. 그리고 O는 관측자 즉 수신기가 있는 곳이고, Q는 P에서 x, y평면으로 정사영시 킨 점이라 생각하시면 된다.

 

 

 

 이를 아래 그림과 같이 직교 좌표계로 더 자세히 표현해 보자.

구좌표계 직교좌표계로 표현

 (1) 선분 OS와 선분 QP가 평행하므로 각 POS와 각 OPQ는 Φ로 같다.

 (2) 각 OQP는 90도 이므로 z=rcosθ, r=ρsinΦ와 같다.

 (3) 각 QOR는 θ이고 각 QRO는 90도이다.

 (4) 따라서, x=rcosθ, y=rsinθ와 같다.

 (5) 결론적으로, 아래와 같다.

   - x=rcosθ=ρsinΦcosθ

   - y=rsinθ=y=ρsinΦsinθ

   - z=ρcosΦ

 즉, 직교좌표 위의 점 (x, y, z)가 구면좌표에서 (ρ, θ, Φ)으로 나타낼 때 위와 같은 결론이 도출된다. 

 

 넓이의 경우는 아래와 같이 생각하면 된다.

 우선 첫 번째 그림 노테이션 기준으로 z 축에서 내려오는 θ각에서 반지름 r의 길이는 rsinθ에 따라 길이가 달라지게 된다. 그리고 x축에서 회전하는 Φ각에서 반지름 r은 변하지 않는다. 이때 미소량만큼 변화하는 것을 dθ와 dΦ라고 한다면 미소면적의 경우 x축은 rdΦ, y축은 rsinθdθ가 되어 x곱하기 y는 r^2 sinθdθdΦ가 된다.

 

 그림마다 노테이션이 다르니 주의 깊게 보면 큰 어려움이 없을 것이다. 이렇게 직교좌표계를 이용해 구좌표계를 이해해 보았다. 이렇게 구좌표계를 이해하면 어느 θ방향에 전투기가 존재하는지 계산할 수 있게 된다. 이를 우리는 빔포밍이라 부른다.