이전 강의에서는 도파관(waveguide) 형성 시에 다른 매질을 형성할 경우 전파가 어떻게 입사/반사/투과되는지 알아보았습니다. 특히 Snell's law를 통해 음파를 angle과 c만으로 해석을 했었죠. 이번에는 파동의 세기를 알아보겠습니다.
1. Intensity
Intensity의 경우 음압과 ρ, c의 함수로 아래와 같이 나타내고 이때, pressure를 시간축에서 평균을 내는 것을 특징적으로 삼습니다. 이를 rms(root mean square)라고 하고 실효값이라고도 부릅니다.
그러면 Reflection의 Intensity의 경우는 반사파워/입사파워이므로 정리하면 Reflection의 제곱이 됩니다. Transmission Intensity의 경우는 아래와 같습니다.
위 수식을 보면 투과파워/입사파워인데 매질이 다르므로 Reflection의 Intensity와 차이가 발생합니다.
2. Power
Power의 경우는 간단한데 아래와 같이 면적과 Intensity의 곱으로 나타내면 됩니다.
Reflection의 Power의 경우에는 이전에도 배웠다 싶이 입사각과 반사각이 같으므로 면적이 같게 됩니다.
면적이 같으므로 아래와 같이 간단하게 수식이 정리 됩니다. R 같은 경우는 앞 강의에서 Snell's law를 통해 계산하였었죠. 그 값을 대입만 시키면 됩니다.
Transmission의 Power의 경우는 아래와 같습니다.
위 식을 살펴보면 입사각과 투과각이 서로 다르므로 면적 A가 다를 수밖에 없습니다. 그러므로 그 면적은 델타 x와 투과각 그리고 입사각의 비로 나타내게 되지요. 이를 정리하게 되면 제일 아래 수식과 같이 정리되게 됩니다.
이제 Reflection과 Trasmission의 Power를 계산해 보았으니 아래와 같은 Intromission angle이라는 조건에서 특정 값도 얻을 수 있습니다.
반사되지 않고 전부 입사된다고 가정한 값이고 아래 노란색 조건을 위 식에 대입만 하면 최종 식을 유도할 수 있습니다. 뭐 간단히 보여만 드리는 것이니 크게 생각하지 않고 이런 게 있구나라고 넘어가시면 됩니다.
3. Wave propagation in 2D waveguide
waveguide는 도파관이며, 바닥이 Rigid로 그리고 해수면이 Pressure release surface조건일 경우 한번 알아 보도록 하겠습니다. 경계조건은 앞서 설명드렸던 조건을 그대로 적용시키면 됩니다.
아래와 같이 Pressure의 경우 입사파와 반사파 그리고 시간텀으로 분류할 수 있죠. 이때, 1/2로 나눠주는 이유는 뒤에서 설명드리겠지만 수학적인 테크닉이니 크게 생각지 마시고 따라와 주시면 됩니다. 아래 값을 최종 정리하면 z 축과 x축으로 up&dwon going wave와 propagation term으로 구분되게 됩니다. 이때, 우리가 모드(mode)를 많이들 이야기하는데 아래 수식에서 보여지듯이 위아래로 움직이는 2개의 plane wave의 합으로 표현되는 것을 말합니다.
위 식을 오일러 공식과 삼각함수 공식으로 최종 정리하면 아래와 같은 수식을 유도할 수 있습니다.
역시 앞 항은 up&dwon going wave이고 뒤 항은 propagation term입니다.
위 식에 경계조건을 대입해 보겠습니다.
(1) Pressure release boundary 조건 대입
z에 0을 대입하고 위 식을 정리하면 아래와 같습니다. 그리고 해수면에서는 pressure가 0이므로 아래와 같고 결국 Phi는 0이 되게 됩니다.
(2) Rigid boundary 조건 대입
우선 z term에 depth를 대입하고 particle velocity인 μ항은 Eular's Equation의 통해 계산할 수 있었죠?. 우선 P의 미분은 아래 나타낸 수식과 같이 표현 가능합니다. 이 값이 0이 되기 위해서는 결국 cos이 1/2이되어야 하므로 k항을 아래와 같이 순열로 나타낼 수 있겠지요.
kz항을 위 식에 대입하게 되면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 최종 파형은 알애ㅘ 같이 나타낼 수 있고 이를 total pressure라고 합니다.
위 수식에서 n이 mode를 뜻하게 되고 이 n에 따라 파형이 아래 그림처럼 변화하게 됩니다. 즉, mode에 따라 pressure가 형성되고 수신기 위치에 따라 수신 음압이 달라지게 됩니다.
(3) Evanescent wave(소실파)
소실파란 표면으로부터 세기가 지수적으로 감소하는 전자기파를 의미합니다. 이 소실파 같은 경우는 입사파가 경계면을 지나 두 번째 매질로 투과될 경우 전부 다 투과되지 않고 아주 약간의 전기장과 자기장으로 남아있는 파라고 칭합니다. 앞서서는 전부 다 투과된다고 했는데 실제는 그렇지 않죠. 이 소실파의 경우 x축에서 조금만 멀어질 경우 크게 감소되고 특히 지수적으로 감소하게 됩니다.
이 소실파의 k값은 아래와 같이 벡터로 계산할 수 있고 kz 같은경우 위에서 이미 계산하였기 때문에 대입하게 되면 아래와 같이 간단하게 유도할 수 있습니다.
앞 강의까지 포함하여 이정도로 하였으면 파동에서 대해서 거의 이해하셨다 보시면 됩니다. 다음 강의에서는 time 영역에서 이러한 값들을 알아보도록 하겠습니다.
이전강의에서 배웠던 것들을 간략히 정리해 볼까요?
(1) 파동방정식 유도 : Sates of equation, Eular's Equaiton , Continuity of Equation 결합
(2) 경계조건에서 전파의 방향
(3) 경계조건의 특성(Rigid boundary condition, Pressure release boundary condition)
(4) 경계조건에서의 Plane wave의 전파 특성 : standing wave 등
(5) 경계조건에서 파동의 전파 특성을 Snell's law를 통해 angle과 c로만 표현
(6) 경계조건에서 파동의 세기
이정도 정리하면 되겠네요. 다들 수고하셨습니다.