이전 강의에서는 파동방정식을 유도하여 이상적인 경계조건에서 파형이 어떻게 형성되는지 알아보았습니다. 이번 강의에서는 매질이 서로 다른 곳에서 이전에 배우지 않았던 투과의 개념과 Snell's law를 알아보도록 하겠습니다.
1. 매질이 서로 다른 곳에서 Pressure의 형성
매질이 다른 물질에서의 파형은 투과의 개념이 아래처럼 들어가게 됩니다.
이전에는 Rigid 또는 Surface 조건에서 standing wave위주로 배웠었는데 이번에는 매질이 전혀 다르죠. 그렇기 때문에 매질에 따라 pressure가 다르게 됩니다.
위 첫 번째 매질에서의 Pressure를 나타내는 P1을 살펴보면 입사파와 반사파의 합으로 표현되는 것을 알 수 있습니다. 이때 시간에 따른 크기항을 나타내는 term과 z항 그리고 x항으로 나타낼 수 있습니다. 이때 아래로 향하는 z항을 + 위로 향하는 z항을 -로 표현하는 것에 실수하지 않으시면 됩니다. 그리고 입사파와 반사파에서 Pi항을 묶어 내었기 때문에 반사파의 경우 Pr/Pi = R(Reflection coefficients) 나타낼 수 있습니다.
두번 째 매질인 투과파의 경우에는 아래처럼 간단히 나타낼 수 있습니다. 단지 wave number를 k2라 표시한 것뿐입니다.
2. Snell's Law 정의
우선 Snell's Law를 정의하기 위해서는 2가지의 Boundary Condition이 존재합니다.
첫 번째는 서로다른 두 매질사이의 Pressure 변화가 없다는 것이고 두 번째는 서로 다른 두 매질 사이의 입자들의 속도 변화가 없다는 것이 입니다. 이를 continuity라고 표현하는데 한번 알아보도록 합니다.
(1) P1 = P2 at z=0
첫 번째/두 번째 매질에서의 Pressure식에 z=0을 대입하고 서로 같다는 조건으로 정리하면 아래와 같습니다.
좌변과 우변이 같기 위해서는 k1coθi와 k1coθr 그리고 k2coθt의 관계가 아래와 같아야 합니다.
위의 조건을 Snell's Law라고 하는데 정리하면 아래와 같습니다.
(a) 각 wave number는 같아야하고 그로 인해 입사각과 반사각은 서로 같은 거울면 반사 조건이 나옵니다.
(b) 온도에 따라 음속이 변하고, 음속이 변함에 따라 입사/반사 각이 변하게 됩니다.
(c) 음파는 음속이 느린 쪽으로 휘게 됩니다.
(d) Snell's Law는 θ와 c간의 관계식입니다.
그러면 서로다른 두 매질에서 angle 값에 따라 어떤 변화가 있는지 알아보겠습니다.
우선 첫 번째 boundary condition에서 파생된 수식에 k1coθi=k1coθr=k2coθt 조건을 대입하면 아래와 같이 수식이 정리됩니다.
어떤 신호를 경계면에 입사를 시켜 반사되는 신호와 투과되는 신호의 관계를 나타낸 것이죠. 여기서 R은 Reflection, T는 Transmission coefficients라고 합니다. 위 식을 Rigid와 Surface 조건에서의 Reflection 값을 넣으면 아래와 같습니다.
Snell's law에서 첫 번째 boundary condition 조건에서는 위와 같이 최종 정리가 됩니다. 그러면 두 번째 경계조건 값을 넣어 보도록 하겠습니다.
(2) μ1 = μ2 at z=0
우리는 μ와 관계된 어떤 수식을 풀 때 항상 Euler's Equation을 적분한 것을 기억하고 계시죠. 우선 μ1을 계산하기 위해 입사파와 반사파의 합 P1의 z에 대하여 미분을 한 후 t에 대하여 적분을 하게 되면 최종적으로 아래와 같이 수식이 전게 됩니다. μ2도 동일한 조건이니 한번 미/적분을 해 보시기 바랍니다.
위와 같이 μ1과 μ2를 계산하고 z=0이라는 경계조건을 대입시켜 봅시다.
그러면 위와 같이 정리되게 됩니다. 위의 조건에서 k1coθi=k1coθr=k2coθt 조건을 대입하여 같다고 넣으면 아래와 같이 두 번째 수식이 나오게 됩니다.
위의 조건에서 두 번째 수식과 첫 번째 수식 간의 비를 확인해 보면 아래와 같습니다. 우선 Reflection Coeficients를 계산하기 위해 아래와 같이 묵은 후 ec/ec를 프사이로 나타내여 정리하면 아래와 같습니다.
최종적으로 R을 계산하였으니 앞서 T를 정리하면 아래와 같습니다.
투과와 반사를 angle의 term으로 나타내게 됩니다. 이를 이용한면, 신호가 서로 다른 매질에서 어떤 각도로 휘는지 알 수 있겠지요. 그리고 Reflection/Transmission coeficients는 결국에는 신호의 세기에 관련이 있게 되는데 앞서 계산된 R+T가 1이 되어야 하나 그렇지 않다는 것을 알 수 있습니다. 이는 우리가 앞선 가정에 손실과 같련 된 부분을 무시했기 때문입니다. 그러면 이 문제를 해결하기 위해 우리는 Power의 개념을 도입합니다. 그러면 πr+πT = 1이 되는 결과를 얻을 수 있는데 이는 다음 강의에서 알아보도록 하겠습니다. 감사합니다.